Баглай Марат Викторович родился 13 марта 1931 года в г. Баку. Русский.

В 1954 году окончил юридический факультет Ростовского-на -Дону государственного университета.

В 1957 году окончил аспирантуру Института государства и права АН СССР в г. Москве. Доктор юридических наук (с 1968 года), профессор (с 1970 года).

С 1957 по 1962 годы — научный сотрудник Института государства и права АН СССР.

С 1962-1967 гг. — доцент кафедры Государственного института международных отношений МИД СССР.

С 1967 по 1977 годы занимал должность заведующего отделом Института международного рабочего движения АН СССР (ныне — Институт сравнительной политологии и рабочего движения Российской Академии Наук) .

С 1977 по 1991 гг. — проректор, а с 1991 по 1995 гг. — первый проректор Академии труда и социальных отношений. Одновременно работал профессором кафедры конституционного права МГИМО.

7 февраля 1995 года был избран судьей, а с 20 февраля 1997 года — Председателем Конституционного Суда Российской Федерации.

Член корреспондент РАН, заслуженный деятель науки РФ. Автор ряда монографий, учебников и научных статей.

В 1975 году награжден орденом «Дружбы Народов».